Sei n eine nichtnegative ganze Zahl. Die Fakult\344t der Zahl n wird durch die Eingabe "n!" oder durch die Funktion "factorial(n)" berechnet. Beispiel (f\374r n=3):factorial(3); 3!;

NiMiIic=NiMiIic=

Alternativ l\344sst sie sich ebenso nach einer Zuweisung berechnen. Beispiel:n:=3; n!;

NiM+SSJuRzYiIiIkNiMiIic=

Sei n eine nichtnegative Zahl. Die Fakult\344tsfunktion ist ebenso f\374r Dezimalzahlen definiert. Beispiel (f\374r n=2.5): Es bestehen wieder die M\366glichkeitenfactorial(2.5); 2.5!;

NiMkIitxNE5CTCEiKg==NiMkIitxNE5CTCEiKg==

odern:=2.5; n!;

NiM+SSJuRzYiJCIjRCEiIg==NiMkIitxNE5CTCEiKg==

Aufgaben: Berechne die folgenden Fakult\344ten a) 4! b) 5! c) 6! c) 30!

Seien n und k nichtnegative ganze Zahlen. Der Binomial-Koeffizient (sprich: n \374ber k) l\344sst sich mithilfe der Funktion "binomial(n,k)" berechnen. Beispiel (f\374r n=4, k=2):binomial(4,2);

NiMiIic=

Es besteht ebenso die M\366glichkeit n variabel zu belassen, wobei wir zur Darstellung der L\366sung die Funktion "expand(expression)" ben\366tigen. Beispiel (f\374r k=2):binomial(m,2); expand(binomial(m,2));

NiMtSSliaW5vbWlhbEc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YmSShfc3lzbGliRzYiNiRJIm1HRigiIiM=NiMsJiokSSJtRzYiIiIjIyIiIkYnRiUjISIiRic=

Aufgaben: Berechne den Binomial-Koeffizienten f\374r a) n=2, k=3 b) n=17, k=0 c) n=9, k=1 d) k=3 e) n=6, k=2 f) n=-4.5, k=3

Seien m und n ganze Zahlen. Die (endliche) Summe \374ber einen gewissen Ausdruck von k=m bis n l\344sst durch die Funktion "sum(expression, k=m..n)" (bzw. "value(Sum(expression, k=m..n))") berechnen. Beispiel (f\374r expression=k^2, m=1, n=4):sum(k^2, k=1..4); Sum(k^2, k=1..4); value(Sum(k^2, k=1..4));

NiMiI0k=NiMtSSRTdW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkKiRJImtHRigiIiMvRis7IiIiIiIlNiMiI0k=

Es besteht ebenso die M\366glichkeit keine obere (bzw. untere) Grenze vorzugeben, was bei Induktionsbeweisen h\344ufig verlangt wird. Wir liefern f\374r das Ergebnis wieder eine vereinfachte Darstellung, indem das Ergebnis mit der Funktion "expand(expression)" ausmultipliziert und zusammengefasst wird. Alternativ l\344sst sich das Ergebnis mit der Funktion "factor(expression)" als Produkt darstellen oder mit der Funktion "simplify(expression)" vereinfachen. Beispiel (f\374r expression=k^2):sum(k^2, k=1..n); expand(%); sum(k^2, k=a..b); expand(%); factor(%%);

NiMsKiokLCZJIm5HNiIiIiJGKEYoIiIkI0YoRikqJEYlIiIjIyEiIkYsRiYjRigiIidGL0YoNiMsKCokSSJuRzYiIiIkIyIiIkYnKiRGJSIiIyNGKUYrRiUjRikiIic=NiMsMCokLCZJImJHNiIiIiJGKEYoIiIkI0YoRikqJEYlIiIjIyEiIkYsRiYjRigiIidGL0YoKiRJImFHRidGKSNGLkYpKiRGMkYsI0YoRixGMiNGLkYwNiMsLiokSSJiRzYiIiIkIyIiIkYnKiRGJSIiIyNGKUYrRiUjRikiIicqJEkiYUdGJkYnIyEiIkYnKiRGMEYrRixGMCNGMkYuNiMsJComLChJImFHNiIiIiIhIiJGKEkiYkdGJ0YpRigsLCokRiYiIiNGLUYmRikqJkYqRihGJkYoRi1GKkYoKiRGKkYtRi1GKCNGKSIiJw==

Seien m und n ganze Zahlen. Das (endliche) Produkt \374ber einen gewissen Ausdruck von k=m bis n l\344sst durch die Funktion "product(expression, k=m..n)" (bzw. "value(Product(expression, k=m..n))") berechnen. Beispiel (f\374r expression=k^2, m=1, n=4):product(k^2, k=1..4); Product(k^2, k=1..4); value(Product(k^2, k=1..4));

NiMiJHcmNiMtSShQcm9kdWN0RzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRiZJKF9zeXNsaWJHNiI2JCokSSJrR0YoIiIjL0YrOyIiIiIiJQ==NiMiJHcm

Es besteht auch hier wieder die M\366glichkeit keine obere (bzw. untere) Grenze vorzugeben. Wir liefern f\374r das Ergebnis wieder eine vereinfachte Darstellung, indem das Ergebnis mit der Funktion "expand(expression)" ausmultipliziert wird. In unserem speziellen Beispiel erhalten wir die sogenannte Gammafunktion. Beispiel (f\374r expression=k^2): product(k^2, k=1..n); expand(%); product(k^2, k=a..b); expand(%);

NiMqJC1JJkdBTU1BRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRidJKF9zeXNsaWJHNiI2IywmSSJuR0YpIiIiRi1GLSIiIw==NiMqJi1JJkdBTU1BRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRidJKF9zeXNsaWJHNiI2I0kibkdGKSIiI0YrRiw=NiMqJi1JJkdBTU1BRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRidJKF9zeXNsaWJHNiI2IywmSSJiR0YpIiIiRi1GLSIiIy1GJTYjSSJhR0YpISIjNiMqKC1JJkdBTU1BRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRidJKF9zeXNsaWJHNiI2I0kiYkdGKSIiI0YrRiwtRiU2I0kiYUdGKSEiIw==

Aufgaben: Berechne die endlichen Summen f\374r a) expression=x^k, m=0 (geometrische Reihe) b) expression=k, m=1 (arithmetische Reihe) c) expression=k^3, m=1, n=4 d) expression=k^3, m=1 e) expression=binomial(n,k), m=0 f) expression=((-1)^k)*binomial(n,k), m=0 g) expression=(-1)^(k-1)*k^2, m=1 h) expression=(-1)^(k-1)*k, m=1 i) expression=(2*k-1)^2, m=1 j) expression=k*(k+1), m=1und die endlichen Produkte f\374r k) expression=k^3, m=1, n=4 l) expression=k^3, m=1 m) expression=1-1/k^2, m=2 n) expression=1-2/(k(k+1)), m=2 o) expression=(k^3-1)/(k^3+1), m=2

Sei x eine reelle Zahl. Den absoluten Betrag der Zahl x erh\344lt man durch den Aufruf der Funktion "abs(x)". Beispiel (f\374r x=-10):abs(-10);

NiMiIzU=

Sei y eine variable reelle Zahl, so l\344sst sich lediglich eine allgemeine Darstellung des absoluten Betrages angeben. Fordern wir mithilfe des Befehls "assuming variable::property" zus\344tzliche Eigenschaften, so l\366st sich der absolute Betrag auf. Beispiel (f\374r x=y, x=y mit y>0 und x=y mit y<0):abs(y); abs(y) assuming y::positive; abs(y) assuming y::negative;

NiMtSSRhYnNHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiU2I0kieUc2Ig==NiNJInlHNiI=NiMsJEkieUc2IiEiIg==

Sei x eine reelle Zahl ungleich 0 und n eine nichtnegative ganze Zahl. Die n-te Ableitung des absoluten Betrages im Punkt x l\344sst sich durch die Funktion "abs(n,x)" berechnen. F\374r n=1 entspricht "abs(1,x)" gerade der sogenannten Signumfunktion "signum(x)". Beispiel (f\374r n=2, x=10 und n=1 x=-2):abs(2,10); abs(1,-2); signum(-2);

NiMiIiE=NiMhIiI=NiMhIiI=

Aufgaben: Berechne den absoluten Betrag f\374r a) x=-8.7 b) x=y+4 mit y>0 c) x=5, n=1

Sei x eine reelle nichtnegative Zahl. Die Quadratwurzel von x erhalten wir durch den Aufruf der Funktion "sqrt(x)". Beispiel (f\374r x=4):sqrt(4);

NiMiIiM=

Sei y eine variable reelle nichtnegative Zahl, so l\344sst sich lediglich eine allgemeine Darstellung der Quadratwurzel angeben. Durch den Funktionsaufruf "sqrt(x,symbolic)" l\344sst sich das Ergebnis weiter vereinfachen. Beispiel (f\374r x=-9*y^3):sqrt(-9*y^3); sqrt(-9*y^3,symbolic);

NiMsJCokLCQqJEkieUc2IiIiJCEiIiMiIiIiIiNGKQ==NiMsJComSSJ5RzYiIiIiLCRGJSEiIiNGJyIiIyIiJA==

Seien x eine reelle nichtnegative Zahl und n eine nichtnegative ganze Zahl. Die n-te Wurzel aus x l\344sst sich mit der Funktion "root[n](x)" (bzw. "root(x,n)" oder "surd(x,n)") und die Vereinfachung durch "root[n](x,symbolic)" (bzw. "root(x,n,symbolic)") berechnen. In diesem Zusammenhang sind "sqrt(x)", "root[2](x)", "root(x,2)" und "surd(x,2)" (bzw. "sqrt(x,symbolic)", "root[2](x,symbolic)", "root(x,2,symbolic)" und "surd(x,2)") identisch. Beispiel (f\374r x=8, n=3):root[3](8); root(8,3); root[3](8,symbolic); root(8,3,symbolic);

NiMiIiM=NiMiIiM=NiMiIiM=NiMiIiM=

Aufgaben: Berechne die Quadratwurzeln f\374r a) x=81 b) x=25*x^7und die Wurzeln f\374r c) x=125, n=3 d) x=16, n=4

Sei x eine reelle Zahl. Dann l\344sst sich eine von x abh\344ngige Gleichung nach x aufzul\366sen, indem wir die Funktion "solve(Gleichung, x)" aufrufen. Beispiel:solve(x+abs(x-2)=1+abs(x), x);

NiUiIiQiIiIhIiI=

Als n\344chstes l\366sen wir mit dem Befehl "solve({Gleichung1,...,GleichungN},{Variable1,...,VariableN})" mehrere Gleichungen. Beispiel (f\374r N=2):solve({x-2*y=0,x+y^2=0},{x,y});

NiQ8JC9JInhHNiIiIiEvSSJ5R0YmRic8JC9GJSEiJS9GKSEiIw==

Ebenso k\366nnen wir mit diesem Befehl einige, aber nicht alle Ungleichungen l\366sen. Beispiel:solve(x^3+x^2<0, x);

NiMtSSpSZWFsUmFuZ2VHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkLCRJKWluZmluaXR5R0YmISIiLUklT3BlbkdGKDYjRiw=